Square Root Approximation

Udah pernah denger kan apa itu Square Root Approximation? Kalo bahasa Indonesianya Pendekatan Akar Kuadrat.

Nah,, saya pernah mendapatkan soal ini saat kuliah sejarah matematika. Pertama  kali membacanya bingung banget gimana harus menjawabnya.

Dan….akhirnya,,setelah dibaca-baca lagi dan bertanya ke teman, soal ini bisa dijawab juga…

The Questions
It is known that the infinite series obtained by expanding (a^2+h)^\frac12 by the binomial theorem process converges to (a^2+h)^\frac12 if -a^2<h<a^2.

a. Establish the approximation formula
(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2},0<h<a^2

b. Take a=\frac43 and h=\frac29 in the approximation formula of part (a), and thus find a Babylonian rational approximation for \sqrt2. Find a rational approximation for \sqrt5 by taking a=2, h=1.

c. Establish the better approximation formula
(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{8a^3},0<h<a^2
and approximate \sqrt2 and \sqrt5 by using the same value for a and h as in part (b)

Soal
Diketahui bahwa rangkaian tak terhingga diperoleh dengan memperluas (a^2+h)^\frac12 menggunakan proses teorema binomial untuk (a^2+h)^\frac12 jika -a^2<h<a^2.

a. Buktikan rumus pendekatan
(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2},0<h<a^2

b. Gunakan a=\frac43 and h=\frac29 di dalam rumus pendekatan pada bagian (a) dan temukan pendekatan rasional Babylonia untuk \sqrt2. Temukan pendekatan rasional untuk \sqrt5 dengan menggunakan a=2, h=1.

c. Buktikan rumus pendekatan yang lebih baik
(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{8a^3},0<h<a^2, dan mendekati  \sqrt2 dan \sqrt5 dengan menggunakan nilai yang sama untuk a dan h seperti pada bagian (b).

Jawaban (Answer)
a. Pembuktian
(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2a}, 0<h<a^2
Misalkan: (a^2+h)^\frac12=a+\frac{h}{2a}, maka
(a^2+h)^\frac12=a+\frac{h}{2a}
((a^2+h)^\frac12)^2=(a+\frac{h}{2a})^2
a^2+h=(a+\frac{h}{2a})(a+\frac{h}{2a})
a^2+h=a^2+\frac{2h}{2a}+(\frac{h}{2a})^2
karena 0<h<a^2 sehingga \frac{h}{2a} mendekati nol,
a^2+h=a^2+h
\therefore (a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2a} (Terbukti)

b. Untuk a=\frac43 dan h=\frac29, dan pendekatan rasional untuk \sqrt2.

(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2a}
((\frac43)^2+\frac29)^\frac12\approx\frac43+\frac{\frac29}{2\frac43}
(\frac{16}{9}+\frac29)^\frac12\approx\frac43+(\frac{2}{9}\times\frac{3}{8})
(\frac{18}{9})^\frac12\approx\frac43+\frac{1}{12}
(2)^\frac12\approx\frac{16+1}{12}
\sqrt2\approx\frac{17}{12}
\sqrt2\approx\frac{17}{12}
1,414...\approx1,416...
\therefore untuk a=\frac43 dan h=\frac29 nilainya mendekati \sqrt2

Untuk a=2 dan h=1, maka pendekatan rasional untuk \sqrt5.
(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2a}
(2^2+1)^\frac12\approx2+\frac{1}{2(2)}
(4+1)^\frac12\approx2+\frac14
(5)^\frac12\approx\frac{8+1}{4}
\sqrt5\approx\frac94
2,23...\approx2,25...
\therefore untuk a=2 dan h=1 nilainya mendekati \sqrt5

c. Pembuktian
(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2a}-\frac{h^2}{8a^3}
Misalkan (a^2+h)^\frac12={a}+\frac{h}{2a}-\frac{h^2}{8a^3}, maka
((a^2+h)^\frac12)^2=({a}+\frac{h}{2a}-\frac{h^2}{8a^3})^2
a^2+h=a^2+(\frac{h}{2a})^2+(\frac{h^2}{8a^3})^2+2(a)(\frac{h}{2a})-2(a)(\frac{h^2}{8a^3})-2(\frac{h}{2a}\times\frac{h^2}{8a^3})
a^2+h=a^2+\frac{h^2}{4a^2}+\frac{h^4}{64a^6}+h-(\frac{h^2}{4a^2})-\frac{h^3}{8a^4}
a^2+h=a^2+h+\frac{h^4}{64a^6}-\frac{h^3}{8a^4}
a^2+h=a^2+h+\frac{h}{a^2}(\frac{h^3}{64a^4}-\frac{h^2}{8a^2})
karena 0<h<a^2 maka \frac{h}{a^2} mendekati nol, sehingga
a^2+h=a^2+h, (Terbukti)

Untuk a=\frac43 dan h=\frac29, dan pendekatan rasional untuk \sqrt2

(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2a}-\frac{h^2}{8a^3}
((\frac43)^2+\frac29)^\frac12\approx{\frac43}+\frac{\frac29}{2(\frac43)}-\frac{(\frac29)^2}{8(\frac43)^3}
(\frac{16}{9}+\frac29)^\frac12\approx{\frac43}+(\frac29\times\frac38)-(\frac{4}{81}\times\frac{27}{512})
(\frac{18}{9})^\frac12\approx{\frac43}+\frac{1}{12}-\frac{1}{384}
(2)^\frac12\approx\frac{512+32-1}{384}
\sqrt{2}\approx\frac{543}{384}
1,414...\approx1,414...
\therefore untuk a=\frac43 dan h=\frac29 nilainya \approx\sqrt2

Untuk a=2 dan h=1, dan pendekatan rasional untuk \sqrt5

(a^2+h)^\frac12\approx{a}+\frac{h}{2a}-\frac{h^2}{8a^3}
((2)^2+1)^\frac12\approx{2}+\frac{1}{2(2)}-\frac{1^2}{8(2)^3}
(4+1)^\frac12\approx{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{64}
(5)^\frac12\approx\frac{128+16-1}{64}
\sqrt5\approx\frac{143}{64}
2,236...\approx2,234...
\therefore Untuk a=2 dan h=1 nilainya \approx\sqrt5

Atau klik link di bawah ini!!!

Square Root Approximation

Semoga bermanfaat…

About yuaayu


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s